线性代数应该这样学 (第四版) (Sheldon Axler 著 吴俊达, 何阳 译) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk)

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Linear Algebra Done Right, fourth edition 线性代数应该这样学 （第四版） 作者 [美] Sheldon Axler 译者 吴俊达 何阳 𝐹𝑛 = 1√ 5 [( 1+ √ 5 2 )𝑛 − ( 1− √ 5 2 )𝑛]

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发布日期：2024年 8月 4日 修订日期：2025年 7月 20日 封面上的等式： 第 𝑛个斐波那契数的公式． 5D节习题的第 21题用线性代数导出了这个公式． 原书发布网址： https://linear.axler.net 原书反馈邮箱： linear@axler.net 翻译版发布网址： https://oliverwu.top/ladr4e https://linear.he-yang.top 翻译版反馈邮箱： ladr2024@163.com 本作品采用知识共享署名-非商业性使用 4.0国际许可 协议进行许可．访问 https://creativecommons.org/ licenses/by-nc/4.0/查看该许可协议．

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译者序 本书是对旧金山州立大学 Sheldon Axler教授的著作 Linear Algebra Done Right第四版的翻 译．全书共分为 9章，具体内容见后文“致教师”一节．“致学生”也建议各位读者阅读，有 助于各位调整好阅读本书的心态和目标． 本书主要讨论向量空间和线性映射．对于数学专业的学生而言，这大致对应高等代数课程 第二学期的内容．本书与国内通行教材对于知识的处理方法和编排顺序大不相同（比如“特立 独行”地将行列式放在最后引入），可为师生提供全新的视角，因此可作为课程参考书．对于 非数学类的理工科学生而言，现代控制理论、优化方法等许多广阔的研究领域都需要线性映射 的理论基础，而单学期的线性代数课程中往往不涉及线性映射的内容．本书对预备知识的要求 低，语言通俗易懂，论述详细，因此可作为非数学类学生的进阶自学用书，教师也可借此教材 加开第二学期线性代数进阶课程． 译者在大一的《控制理论中的代数基础》课程中接触本书的第 3版，阅读过程中深感其 既生动又严谨，并从中收获颇丰． 2023年上半年，译者偶然想起作者在书中留下了个人网址， 怀着好奇心点开网页，意外发现作者在准备第四版的消息，当时便萌生了将新版本教材译成中 文并借此机会重读全书的愿望．同年 11月，译者再次访问上述网址，发现新版本已发布．正 巧，接下来的寒假比较长，有较充裕的时间，译者便踏上了翻译之旅． 翻译的分工情况如下：各序言中，“致谢”一节由何阳翻译，其余由吴俊达翻译；前 6章习 题翻译由何阳完成，其余由吴俊达完成；第 7章由何阳翻译；第 8章由吴俊达翻译；第 9章由 两人合译．马奕斌、彭宣滨两位同学参与校对了部分章节并提出了不少宝贵建议，谨此表示衷 心感谢．还要特别感谢原书作者 Sheldon Axler教授及其同事的大力支持与热情鼓励．此外，本 翻译使用的模板是在 Ethan Deng等编写的 ElegantBook基础上修改而成的，感谢 ElegantLATEX 项目组精心打造这一美观的模板． 英文的表达习惯与中文有诸多不同，且原书语言生动，若直译难免生硬别扭、失其神韵． 因此，译者在充分尊重原文句意的前提下，对其中部分字眼不求字字对应，而根据自己的理解 作了补充，必要时在脚注中作出解释．翻译本质上是一种再创作，无法代替原著．希望读者不 仅阅读翻译，更要能独立阅读原著，或者至少对照阅读一遍，想必会更有收获． 由于译者水平有限，本翻译一定有不妥之处甚至错误，欢迎读者朋友们多提意见和建议． 请将意见和建议发送至 ladr2024@163.com． 感谢 Sheldon Axler教授将本书开放免费下载！衷心希望本书能帮助各位读者跨越“语言 关”，更深入地掌握书中的基本内容！ 译者 2024年 8月 i 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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作者简介 Sheldon Axler在普林斯顿大学（Princeton University）取得学士学位，随后在加利福尼亚 大学伯克利分校（University of California at Berkeley）取得数学博士学位． 担任麻省理工学院（MIT）的博士后摩尔讲师（Moore Instructor）期间，Axler获得了校级 教学奖．之后，他成为密歇根州立大学（Michigan State University）的助理教授、副教授和教 授，其间他获得了第一届 J. Sutherland Frame教学奖和杰出教职工奖． 1996年，Axler获得了美国数学协会（Mathematical Association of America）颁发的 Lester R. Ford解释性写作奖，获奖论文最终被扩充成为本书．除了发表许多研究论文外，他还是六 本数学教材的作者，从大一到研究生学段的内容，这些教材均有涉及．本书的前几个版本已被 超过 375所院校采用，并已被翻译成三种语言． Axler是《数学信使》（Mathematical Intelligencer）的主编以及《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）的副编辑．他是美国数学学会（American Mathematical Society）理事会 的成员，也是美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute）的董事会成 员．他还供职于 Springer出版社的“本科生数学教材”（Undergraduate Texts in Mathematics）丛 书、“研究生数学教材”（Graduate Texts in Mathematics）丛书、Universitext丛书以及“施普林 格数学专著”（Springer Monographs in Mathematics）丛书的编辑委员会． Axler是美国数学学会会士，并享受美国国家科学基金会（National Science Foundation）提 供的多项津贴． Axler于 1997年入职旧金山州立大学（San Francisco State University），并担任数学系的系 主任．他于 2002年至 2015年间担任理学与工程学学院的院长，之后他重新受聘为常规教职， 担任数学系教授． C arrie H eeter,Bishnu Sarangi 作者和他的猫Moon． ii 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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目录 译者序 i 作者简介 ii 致学生 viii 致教师 ix 致谢 xii 第 1章 向量空间 1 1A R𝑛 和 C𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 F𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 关于域的题外话 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 习题 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1B 向量空间的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 习题 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1C 子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 子空间的和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 习题 1C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第 2章 有限维向量空间 22 2A 张成空间和线性无关性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 线性组合和张成空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 线性无关性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 习题 2A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2B 基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 习题 2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2C 维数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 习题 2C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 第 3章 线性映射 43 3A 线性映射的向量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 线性映射的定义和实例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 L(𝑉,𝑊)上的代数运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 习题 3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iii 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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iv 目录 3B 零空间和值域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 零空间和单射性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 值域和满射性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 线性映射基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 习题 3B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3C 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 用矩阵表示线性映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 矩阵的加法和标量乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 矩阵乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 行列分解和矩阵的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 习题 3C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3D 可逆性和同构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 可逆线性映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 同构向量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 将线性映射视为矩阵乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 换基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 习题 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3E 向量空间的积和商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 向量空间的积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 习题 3E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3F 对偶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 对偶空间和对偶映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 线性映射的对偶的零空间和值域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 线性映射的对偶的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 习题 3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 第 4章 多项式 100 多项式的零点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 多项式的带余除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 多项式在 C上的分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 多项式在 R上的分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 习题 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 第 5章 特征值和特征向量 111 5A 不变子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 特征值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 将多项式作用于算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 习题 5A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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目录 v 5B 最小多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 复向量空间上特征值的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 特征值与最小多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 奇数维的实向量空间上的特征值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 习题 5B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5C 上三角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 习题 5C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5D 可对角化算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 对角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 可对角化的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 格什戈林圆盘定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 习题 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5E 可交换算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 习题 5E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 第 6章 内积空间 151 6A 内积和范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 习题 6A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6B 规范正交基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 规范正交组和格拉姆-施密特过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 内积空间上的线性泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 习题 6B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6C 正交补和最小化问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 正交补 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 最小化问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 伪逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 习题 6C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 第 7章 内积空间上的算子 190 7A 自伴算子和正规算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 伴随 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 自伴算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 正规算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 习题 7A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7B 谱定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 实谱定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 复谱定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 习题 7B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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vi 目录 7C 正算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 习题 7C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 等距映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 幺正算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 QR分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 科列斯基分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 习题 7D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7E 奇异值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 奇异值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 线性映射和矩阵的奇异值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 习题 7E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7F 奇异值分解的推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 线性映射的范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 用具有较低维值域的线性映射进行逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 极分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 作用于椭球和平行体的算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 通过奇异值计算体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 取决于特征值的算子性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 习题 7F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 第 8章 复向量空间上的算子 249 8A 广义特征向量和幂零算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 算子的幂的零空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 广义特征向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 幂零算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 习题 8A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 8B 广义特征空间分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 广义特征空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 特征值的重数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 分块对角矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 习题 8B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8C 广义特征空间分解的推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 算子的平方根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 若当型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 习题 8C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8D 联系矩阵与算子的桥梁——迹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 习题 8D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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目录 vii 第 9章 多重线性代数和行列式 279 9A 双线性型和二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 双线性型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 对称双线性型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 习题 9A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 9B 交错多重线性型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 多重线性型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 交错多重线性型和排列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 习题 9B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 9C 行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 定义行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 行列式的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 习题 9C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9D 张量积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 两向量空间的张量积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 内积空间的张量积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 多个向量空间的张量积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 习题 9D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 图片来源 322 符号索引 323 索引 324 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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致学生 这可能是你第二次接触线性代数．初次接触这个学科时，你可能偏重欧几里得空间（Eu- clidean space）和矩阵；这次相逢则不同，将聚焦于抽象的向量空间和线性映射．这些术语将 在后面定义，所以如果你不知道它们的意思也不用担心．这本书从这门学科的初步知识讲起， 不需要对线性代数的预备知识．学习的关键是将全身心沉浸在严谨的数学中，并将重点放在获 得对定义、定理和证明深刻的理解上． 你不能像读小说那样读数学．你如果在不到一个小时里就匆匆浏览过了一页，可能就读得 太快了．当遇到“你应自行验证”这种字眼时，你确实应去验证一下，这常需要你动笔写点东 西．当有些步骤被省略时，你需要补上缺失的部分．你应该深入思考并用心体会每个定义．对 于每个定理，你都应举例说明为什么每个假设都是必要的．和其他同学讨论也有助于你理解． 为辅助阅读1，在书的彩印版本中，定义置于黄框中，定理则置于蓝框中2．每个定理都有 一个非正式的描述性名称． 请查看下面的网站以了解更多关于这本书的信息，包括免费提供的配套视频链接． 非常欢迎你提出建议、评论和更正． 祝你在学习线性代数的过程中获得成功和快乐! Sheldon Axler 旧金山州立大学 网站: https://linear.axler.net e-mail: linear@axler.net 1原文: As a visual aid．visual aid意为“视觉教具”，就是让部分知识点更加醒目，并让学生在阅读时可以快速定义关键知识点的一种 渠道． 2在本翻译版本中，定义和记号在绿框中，定理在橙色框中，以灰色线将例子与其他内容隔开． viii 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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致教师 您即将讲授的课程可能会让学生第二次接触线性代数．在您的学生初次接触这门学科时， 他们可能主要和欧几里得空间及矩阵打交道．本课程则不同，将强调抽象的向量空间和线性映 射． 这本书的书名值得解释一下．大多数线性代数教材都是用行列式来证明有限维复向量空间 上的每个线性算子都有特征值．但是，行列式既难懂又不直观；并且，在定义行列式时，往往 缺乏动机3．为了证明复向量空间上特征值的存在性定理，大部分教材必须先定义行列式，再 证明线性算子不可逆当且仅当其行列式等于 0，然后定义特征多项式．这条曲折的（或许也很 折磨人的）研究途径几乎无法让学生领悟到特征值为何存在． 与之相反，本书给出的简单且不含行列式的证明（例如 5.19）能提供更多的深刻见解．本 书将行列式的讨论移至最后一章，从而开辟了一条新路径，直指线性代数的核心目标——理解 线性算子的结构． 本书从线性代数的初步知识开始讲起，除了要求学生具有适当的数学素养以外，不要求预 备知识．一些例子和习题涉及微积分概念，如连续性、微分和积分．如果您的学生没有学过微 积分，那么您可以直接跳过这些例子和习题；如果您的学生学过微积分，那么通过这些例子和 习题，他们可以领略数学的不同分支之间的联系，由此丰富经验． 本书中大多数习题需要理解书中的证明才能完成．即使您的学生已经看过前几章里的一 些内容，他们也可能不习惯本书给出的这种习题． 本书要点按章总结如下： 第 1章：本章定义了向量空间，并逐步得出它们的基本性质． 第 2章：本章定义了线性无关、张成空间、基和维数，介绍了有限维向量空间的基本理论． 第 3章：本章引入线性映射．本章的关键结果是线性映射基本定理：如果 𝑇 是 𝑉 上的线性 映射，则 dim𝑉 = dim null𝑇 + dim range𝑇．本章中的商空间和对偶这两个主题要比书中大部 分内容抽象程度更高，您可以跳过这些主题（除了在 9D节讨论张量积的时候需要用到对偶 以外）． 第 4章：本章介绍了理解线性算子所需的那部分多项式理论．本章不包含线性代数内容．您 可以很快讲完它，特别是如果您的学生已经熟悉这些结果的话． 第 5章：要研究线性算子，可将其限制于更小的子空间中，由这一想法即引出了章首的特征 向量．本章最激动人心的结果，就是“复向量空间上特征值总是存在”的一个简单证明．随 后，这个结果被用于证明复向量空间上的每个线性算子总关于某个基具有上三角矩阵．在本 章乃至本书后续部分，最小多项式起了重要的作用．例如，本章从最小多项式角度刻画了可 对角化的算子．如果您想节约时间，可以跳过 5E节． 第 6章：本章定义了内积空间，并利用规范正交基和格拉姆-施密特过程等工具来逐步得出 它们的基本性质．本章还展示了如何使用正交投影来解决某些最小化问题．接着引入伪逆， 它是逆不存在时的有用工具．如果您想节省一些时间，可以跳过有关伪逆的内容． 3原文: often defined without motivation. 大概意思是没有动机（“从天而降”）地引入了行列式的定义． ix 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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x 致教师 第 7章：谱定理是本书的重点之一，它刻画了特征向量能组成规范正交基的线性算子．有了 前面章节的铺垫，我们得以给出特别简短的证明．本章还讨论了正算子、等距映射、幺正算 子和矩阵分解，特别是奇异值分解，它进一步引出了极分解和线性映射的范数． 第 8章：本章表明，对于复向量空间上的每个算子，该向量空间中总存在由该算子的广义特 征向量构成的基．接下来，广义特征空间分解描述了复向量空间上的线性算子．特征值的重 数定义为相应广义特征空间的维数．这些工具被用于证明复向量空间上的每个可逆线性算 子都有平方根．接着，本章证明了复向量空间上的每个线性算子都可以化为若当型．本章最 后对算子的迹进行了研究． 第 9章：本章首先关注双线性型，并证明双线性型构成的向量空间是对称双线性型和交错双 线性型各自构成的子空间的直和．然后对二次型进行对角化．接着转向对多重线性型的研究， 本章表明，𝑛维向量空间上的交错 𝑛重线性型构成的子空间维数为 1．这个结果引出了算子 的行列式的定义，它很简洁且不依赖于基．我们还将得出，对于复向量空间而言，行列式等 于特征值的积，该乘积中每个特征值的出现次数就是它的重数．本章最后介绍了张量积． 本书使用字母 F代表实数域或复数域，这样便可同时在实向量空间和复向量空间上探究 线性代数理论．如果您和您的学生更喜欢将 F视为任意的域，可参看 1A节末尾的注记．我更 倾向于避免在这个阶段涉及任意的域，因为这样会引入更多的抽象概念而并不引出更新颖的 线性代数内容．并且，学生更容易接受将多项式看成函数的观点，而系数在有限域中的多项式 需要看成更为形式化的对象．最后，即使理论的起始部分是在任意的域上构建起来的，讨论内 积空间时我们还是要回到实向量空间和复向量空间上来． 您可能没法在一学期内涵盖本书的所有内容．在一学期的授课时长中，仅仅是上完前七章 或前八章就已经需要很快的节奏．如果一定要讲到第 9章，就得考虑跳过 3E节中有关商空间 的内容和 3F节的对偶（除非您想讲 9D节中关于张量积的内容），在半小时内讲完第 4章多项 式，再跳过 5E节的可交换算子，以及 6C节中有关伪逆的小节． 培养学生理解和熟练运用线性代数知识的能力，是比讲授任何特定的定理都更为重要的 教学目标．数学只能通过实践来学习．好在线性代数有许多很好的习题．在教这门课程时，我 通常会在每节课上布置一些习题作为作业，并要求在下节课时上交．在一节课中，讲解作业有 可能占去相当多的时间． 有些习题是为了引导好奇的学生探索一些重要的主题，这些主题通常不被纳入线性代数 方面的第二门基础课程中． 作者心目中的十佳结果 下面是书中作者最喜欢的十个结果，按照它们在书中的出现顺序排列．结课时，学生若充 分理解了这些关键结果，就将在线性代数方面打下很好的基础． 向量空间的任意两个基都有相同的长度（2.34） 线性映射基本定理（3.21） 如果 F = C，那么特征值必存在（5.19） 如果 F = C，那么上三角型必存在（5.47） 柯西-施瓦兹不等式（6.14） 格拉姆-施密特过程（6.32） 谱定理（7.29和 7.31） 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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致教师 xi 奇异值分解（7.70） F = C情形下的广义特征空间分解定理（8.22） 如果 dim𝑉 = 𝑛，那么 𝑉 上交错 𝑛重线性型的维数等于 1（9.37） 第四版中的主要改进和补充 加入二百五十余道新的习题和七十余个新的例子． 增加最小多项式的使用，以提供多个结果的更简洁的证明，包括算子具有关于某个基的上三 角矩阵的充分必要条件（见 5C节），可对角化的充分必要条件（见 5D节）和实谱定理（见 7B节）． 新增关于可交换算子的章节（见 5E节）． 新增关于伪逆的小节（见 6C节）． 新增关于 QR分解和科列斯基分解的小节（见 7D节）． 现在，奇异值分解适用于从一个内积空间到另一个（可能不同的）内积空间的线性映射，而 不仅仅适用于从一个内积空间到自身的线性算子（见 7E节）． 极分解现由奇异值分解证明，这与原来的顺序相反，并使奇异值分解（见 7E节）和极分解 （见 7F节）的证明都更简洁． 新增关于有限维内积空间上线性映射的范数的小节．利用奇异值分解，在线性映射的范数定 义中甚至不用提及上确界（见 7F节）． 新增关于利用具有低维值域的线性映射进行逼近的小节（见 7F节）． 使用初等方法获得了该命题的全新证明：如果 𝑇 是有限维复向量空间 𝑉 上的算子，则存在 由 𝑇 的广义特征向量组成的 𝑉 的基（见 8.9）． 新增第 9章多重线性代数，内容包括双线性型、二次型、多重线性型和张量积．行列式现在 通过交错多重线性型来定义，此种定义方式不依赖于基． 全新设计版式，以让本书更适于学生阅读．例如，定义框和结果框现在是圆角而不是直角， 这比原来看起来更优雅．正文字体从 11号减小到 10.5号． 联系作者或 Springer出版社（如果联系不上 作者）以获得将此书内容进行翻译或用作其 他商业用途的授权． 要获取更多关于这本书的链接和信息， 请访问下面的网站．欢迎您提出建议、评论 和更正． 祝您顺利讲授线性代数课程！ Sheldon Axler 旧金山州立大学 网站: https://linear.axler.net e-mail: linear@axler.net 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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致谢 承蒙过去两个世纪里创建线性代数的数学家们贡献的智慧财富，感激不尽．本书的所有结 果都属于数学的公共遗产．某个定理的某个特例，也许是在很久以前得到了证明，之后又在不 同的时期由许多数学家加强改进．为其中所有贡献者冠以恰如其分的赞誉，将是一项艰巨的任 务，我也并未这样做．而无论如何，读者都不应该将本书展示的任何结果视为我个人的原创． 本书在许多人的帮助下才得以完善．本书的前三版被全球超过 375所院校用作教材．从 使用本书的师生当中，我收到了数以千计的建议和评论，其中的许多建议促成了这一版的改 进．第四版的手稿在 30所大学中进行了课堂测试．非常感谢在课堂测试期间来自师生的有益 反馈． 提出建议的人有很多，为此而作的感谢名单可以写满许多页．而这名单读来乏味，因此我 只提及一人，以代表该版本的所有贡献者．他就是 Noel Hinton，澳大利亚国立大学的一名研究 生．他为第四版提供的建议和更正比其他任何人都多．而对于贡献建议的每一位，请允许我向 你们表达衷心的感谢．万分感谢！ 感谢 Springer出版社在我需要时给予我帮助，并允许我自由地对本书的内容和外观做出最 终决定．特别感谢 Springer出版社的两位极好的数学编辑，她们与我一起完成了这个项目—— Loretta Bartolini参与了第四版工作的前半部分，而 Elizabeth Loew参与了第四版工作的后半部 分．深切感谢 David Kramer，他出色地完成了编辑工作，并使我避免了许多错误． 我还要特别感谢我的好伴侣，Carrie Heeter．她理解我，鼓励我，使我得以专注于为这一 新的版本而工作．在整个写作过程中，我们的好小猫Moon（“关于作者”页面有他的照片）为 我们带来了一次次甜蜜的休憩．而在本书完成之际，Moon突然死于血栓．我们很感激有他陪 伴的五年宝贵时光． Sheldon Axler xii 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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第 1章 向量空间 线性代数是研究有限维向量空间上的线性映射的学问．我们最终会理解这些术语的具体 含义．在本章中，我们将定义向量空间并讨论它们的基本性质． 在线性代数中，如果将复数与实数放在一起研究，就会得到更好的定理和更深刻的见解． 因此，我们将从介绍复数及其基本性质开始． 我们将把平面和三维空间这些例子推广到 R𝑛 和 C𝑛，再进一步推广得到向量空间的概念． 我们将会明白，向量空间是具有满足自然的代数性质的加法和标量乘法运算的集合． 接着，我们将讨论子空间．子空间之于向量空间，就类似子集之于集合．最后，我们将关 注子空间的和（类似于子集的并集）与子空间的直和（类似于不相交集合的并集）． Pierr e Louis D um esnil,N ils Forsberg 图为勒内·笛卡尔（René Descartes）向瑞典女王克里斯蒂娜（Queen Christina of Sweden）讲解他的工作．笛卡尔于 1637 年发表了用两个坐 标来描述平面的观点，向量空间就是这一观点的推广． 1 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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2 第 1章 向量空间 1A R𝑛和 C𝑛 复数 你应该已经熟悉了实数集合 R的基本性质．发明复数，是为了让我们可以取负数的平方 根．我们的想法是，假设 −1有平方根，将其用 i表示，并且它遵守通常的算术规则．正式的 定义如下． 1.1 定义：复数（complex numbers）、C ♣ 一个复数是一个有序对 (𝑎, 𝑏)，其中 𝑎, 𝑏 ∈ R，不过我们会把这写成 𝑎 + 𝑏i． 全体复数所构成的集合用 C表示： C = {𝑎 + 𝑏i : 𝑎, 𝑏 ∈ R}． C上的加法（addition）和乘法（multiplication）定义为 (𝑎 + 𝑏i) + (𝑐 + 𝑑i) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)i， (𝑎 + 𝑏i) (𝑐 + 𝑑i) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i; 其中 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ R． 如果 𝑎 ∈ R，那么我们将 𝑎 + 0i等同于实数 𝑎．由此，我们将 R视为 C的子集．我们通常 将 0 + 𝑏i简写作 𝑏i，将 0 + 1i简写作 i． 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于 1777 年首先使用符号 i来代表 √ −1． 上述复数乘法定义式的来由可以这样说 明：先假设已知 i2 = −1，并用一般的算术规 则来导出两复数乘积的公式，再用它反过来验证定义式的确满足 i2 = −1． 不要去背两个复数乘积的公式：只要回忆起 i2 = −1，再运用一般的算术规则（在 1.3中给 出），你总是可以把它重新推导出来．接下来的示例说明了此过程． 1.2 例：复数的算术运算 运用 1.3中给出的分配性质和可交换性，可以算出 (2 + 3i)(4 + 5i) 的值： (2 + 3i) (4 + 5i) = 2 · (4 + 5i) + (3i) (4 + 5i) = 2 · 4 + 2 · 5i + 3i · 4 + (3i) (5i) = 8 + 10i + 12i − 15 = −7 + 22i． 下面是全书的第一个结果．它指出，复数加法和复数乘法具有我们熟悉的性质，正如我们 所预期的那样． 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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1A R𝑛 和 C𝑛 3 1.3 复数的算术性质 ♡ 可交换性（commutativity） 对于所有 𝛼, 𝛽 ∈ C，都有 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼以及 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼． 可结合性（associativity） 对于所有 𝛼, 𝛽, 𝜆 ∈ C，都有 (𝛼 + 𝛽) + 𝜆 = 𝛼 + (𝛽 + 𝜆)以及 (𝛼𝛽)𝜆 = 𝛼(𝛽𝜆)． 恒等元（identities） 对于所有 𝜆 ∈ C，都有 𝜆 + 0 = 𝜆以及 𝜆1 = 𝜆． 加法逆元（additive inverse） 对于每个 𝛼 ∈ C，都存在唯一的 𝛽 ∈ C使得 𝛼 + 𝛽 = 0． 乘法逆元（multiplicative inverse） 对于每个 𝛼 ∈ C且 𝛼 ≠ 0，都存在唯一的 𝛽 ∈ C使得 𝛼𝛽 = 1． 分配性质（distributive property） 对于所有 𝜆, 𝛼, 𝛽 ∈ C，都有 𝜆(𝛼 + 𝛽) = 𝜆𝛼 + 𝜆𝛽． 上述性质可用我们熟悉的实数性质和复数加法、复数乘法的定义证明．接下来的例子展示 了如何证明复数乘法的可交换性，而其他性质的证明则留作习题． 1.4 例：复数乘法的可交换性 为了说明对于所有 𝛼, 𝛽 ∈ C均有 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼，假设 𝛼 = 𝑎 + 𝑏i 且 𝛽 = 𝑐 + 𝑑i， 其中 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ R．接着由复数乘法的定义得 𝛼𝛽 = (𝑎 + 𝑏i)(𝑐 + 𝑑i) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i 以及 𝛽𝛼 = (𝑐 + 𝑑i) (𝑎 + 𝑏i) = (𝑐𝑎 − 𝑑𝑏) + (𝑐𝑏 + 𝑑𝑎)i． 将上面两式结合实数乘法与实数加法的可交换性可得 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼． 接下来，我们定义复数的加法逆元和乘法逆元，然后用这些逆元定义复数的减法和除法运 算． 1.5 定义：−𝛼、减法（subtraction），1/𝛼、除法（division） 转下页 假设 𝛼, 𝛽 ∈ C． 令 −𝛼表示 𝛼的加法逆元．于是 −𝛼是唯一使得 𝛼 + (−𝛼) = 0 成立的复数． 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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4 第 1章 向量空间 ♣ C上的减法的定义为 𝛽 − 𝛼 = 𝛽 + (−𝛼)． 对于 𝛼 ≠ 0，令 1/𝛼和 1 𝛼 表示 𝛼的乘法逆元．于是 1/𝛼是唯一使得 𝛼(1/𝛼) = 1 成立的复数． 对于 𝛼 ≠ 0，除以 𝛼的定义为 𝛽/𝛼 = 𝛽(1/𝛼)． 为便于下定义，也便于证明对于实数和复数都适用的定理，我们采用以下记号． 1.6 记号：F ♣在全书中，F代表 R或 C． 因此，如果我们证明了一个涉及 F的定理，我们就会知道当把 F替换为 R或 C时，这个 定理也是成立的． 使用字母 F 是因为 R 和 C 都是所谓域 （field）的实例． 称 F 中的元素为标量（scalar）．通常， 当我们想要强调一个对象是数，而不是向量 （稍后将给出定义）时，就使用“标量”这个词（它只是“数”的一个花哨的表达法）． 对于 𝛼 ∈ F以及正整数 𝑚，我们定义 𝛼𝑚表示 𝛼自乘 𝑚次： 𝛼𝑚 = 𝛼 · · · 𝛼︸ ︷︷ ︸ 𝑚个 𝛼 ． 这个定义蕴涵着，对于所有 𝛼, 𝛽 ∈ F和所有正整数 𝑚, 𝑛，有 (𝛼𝑚)𝑛 = 𝛼𝑚𝑛 及 (𝛼𝛽)𝑚 = 𝛼𝑚𝛽𝑚． 组 在定义 R𝑛 和 C𝑛 之前，我们先看两个重要的例子． 1.7 例：R2 和 R3 集合 R2（你可以将其视作一个平面）是全体有序实数对所构成的集合： R2 = {(𝑥, 𝑦) : 𝑥, 𝑦 ∈ R}． 集合 R3（你可以将其视作通常的三维空间）是全体有序实数三元组所构成的集合： R3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ R}． 为了将 R2 和 R3 推广至更高维数，我们首先需要讨论组的概念． 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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1A R𝑛 和 C𝑛 5 1.8 定义：组（list）、长度（length） ♣ 假设 𝑛是非负整数．一个长度为 𝑛的组是 𝑛个有顺序的元素，这些元素可能是数、其 他组或是更抽象的对象． 两个组是相等的，当且仅当它们具有相同的长度和按相同顺序排列的相同元素． 许多数学家将长度为 𝑛的组称为 𝑛元组（𝑛- tuple）． 组的通常写法，是将其中元素以逗号分 隔并用圆括号括起来．于是，长度为 2的组就 是有序对，可以写成 (𝑎, 𝑏)．长度为 3的组就是有序三元组，可以写成 (𝑥, 𝑦, 𝑧)．长度为 𝑛的组 可能看起来是这样的： (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛)． 有时我们会单用组这个词而不明说其长度．但请记住，根据定义，每个组都具有有限长度， 且这长度是非负整数．从而，对于形如 (𝑥1, 𝑥2, . . . )的对象，我们可以说它“具有无限的长度”， 所以它不是组． 长度是 0的组看起来是这样的：( )．我们将这样的对象看成组，是为了使一些定理不出现 平凡的例外情形1． 组与有限集有两方面差异：在组中，顺序很重要，并且重复是有含义的；而在集合里，顺 序和重复都无关紧要． 1.9 例：组 VS集合 组 (3, 5)和 (5, 3) 是不相等的，但集合 {3, 5}和 {5, 3}是相等的． 组 (4, 4)和 (4, 4, 4)是不相等的（长度不等），但集合 {4, 4}和 {4, 4, 4}都等于集合 {4}． F𝑛 要定义与 R2 和 R3 类似的高维对象，我们将 R换成 F（它等于 R或 C）并且将 2或 3换 成任意的正整数即可． 1.10 记号：𝑛 ♣在本章剩余内容中，将 𝑛取为某一固定的正整数． 1.11 定义：F𝑛、坐标（coordinate） ♣ F𝑛 是全体具有 𝑛个 F中元素的组所构成的集合： F𝑛 = {(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) :对于 𝑘 = 1, . . . , 𝑛有 𝑥𝑘 ∈ F}． 对于 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ F𝑛 和 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}，我们称 𝑥𝑘 是 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 的第 𝑘 个坐标． 如果 F = R，且 𝑛等于 2或 3，那么 F𝑛 的上述定义就与前面 R2 和 R3 的定义相吻合． 1“平凡”直译自“trivial”，形容数学中最显然、易证的情形．此类情形固然简单，但不能不考虑．比如此处“长度为零的组”，就会 在 2.19中 𝑚 = 1的特殊情况中遇到，见作者在 2.19证明后所作的说明． 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]

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6 第 1章 向量空间 1.12 例：C4 C4 就是全体由四个复数组成的组所构成的集合： C4 = {(𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4) : 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 ∈ C}． 可阅读埃德温·A·艾勃特（Edwin A. Ab- bott）的《平面国》（Flatland: A Romance of Many Dimensions），其中有趣地描述了生活 在 R2 的生物是如何认知 R3 的．这本发表 于 1884 年的小说也许能帮助你想象四维或 更高维的物理空间． 如果 𝑛 ≥ 4，我们就无法将 R𝑛 可视化为 物理实体；类似地，C1可以被视作一个平面， 但是对于 𝑛 ≥ 2情形，人脑就不能想象出 C𝑛 的全貌了．然而，即便 𝑛很大，我们也可以如 在 R2 或 R3 中那样简便地在 F𝑛 中进行代数 运算．例如，F𝑛 中的加法运算定义如下． 1.13 定义：F𝑛 中的加法（addition in F𝑛） ♣ F𝑛 中的加法定义为将对应坐标分别相加： (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) + (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, . . . , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)． 如果我们使用单个字母来表示 𝑛个数组成的组，而不是显式地写出坐标的话，往往可以更 简洁地表达有关 F𝑛 的数学内容．例如，在陈述接下来的结果时，我们用的是 F𝑛 中的 𝑥 和 𝑦， 即便其证明仍需 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 和 (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) 这些更繁琐的记号． 1.14 F𝑛 中加法的可交换性 ♡ 如果 𝑥, 𝑦 ∈ F𝑛，那么 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥． 证明 假设 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ F𝑛 且 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) ∈ F𝑛．那么 𝑥 + 𝑦 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) + (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, . . . , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = (𝑦1 + 𝑥1, . . . , 𝑦𝑛 + 𝑥𝑛) = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) + (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑦 + 𝑥， 其中第二个和第四个等号成立是由于 F𝑛 中的加法定义，第三个等号成立是因为 F中加法的通 常的可交换性． ■ 符号 ■表示“证明完毕”．如果用单个字母来表示 F𝑛中的元素，那 么在必须列出坐标时，就用同一个字母加上合适的下标来表示．例如，如果 𝑥 ∈ F𝑛，那么令 𝑥 等于 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) 是个好的记法，如上面的证明所示．如果可行的话，只使用 𝑥 并避免显式使 用坐标则更好． 1.15 记号：0 ♣ 令 0表示长度为 𝑛且所有坐标都是 0的组： 0 = (0, . . . , 0)． 《线性代数应该这样学》（第四版） Sheldon Axler [著] 吴俊达、何阳 [译]